Exercice avec solution sur Élément ressort

Méthode des élément finies

Élément ressort :La méthode direct

Exercice 1

 

Les donnes :

K₁=100N/mm K₂=200 N/mm K₃= 100 N/mm P=500 N  u1=u4=0

Trouver

a)La matrice de rigidité globale ?

b) le déplacement dans les nœuds 2 et 3 ?

c) les réactions dans les nœuds 1 et 4 ?

d) la force dans le ressort 2 ?

Solution1

a)Les matrices de rigidité élémentaire

La matrice de rigidité globale par la  méthode de superposition

qui est symétrique.

L'équation d'équilibre (FE) pour l'ensemble du système est la suivante (*):

b) Appliquer les conditions aux limites (u1=u4=0 )

  ou en supprimant les 1ère et 4ème rangées et colonnes, nous avons

En résolvant, on obtient

 (c) À partir des 1ère et 4ème équations de (*), nous obtenons les forces de réaction

(d) L’équation FE du ressort (élément) 2 est la suivante:

Ici i = 2, j = 3 pour l’élément 2. Ainsi, nous pouvons calculer le ressort force comme :

gc

Exercice 2 

Pour le système à ressort avec nœuds numérotés de manière arbitraire
et les éléments, comme indiqué ci-dessus, trouvent la matrice de rigidité globale

solution

Nous construisons d'abord le suivant

 qui spécifie les numéros de nœud globaux correspondant à la
numéros de nœuds locaux pour chaque élément.
Ensuite, nous pouvons écrire les matrices de rigidité d'élément comme suit

 Enfin, en appliquant la méthode de superposition, on obtient le
Matrice de rigidité globale comme suit

 

gc

Exercice 3

 Considérez le système à deux ressorts illustré ci-dessous:

.

solution3 

 Les matrices de rigidité élémentaire peuvent être écrites pour chaque
élément.
Assemblage de la matrice de rigidité totale par superposition
Considérons le système de ressort défini dans le dernier exemple:

 

Ecrivez la matrice de rigidité au format global pour l'élément 1 en tant que
suit:

Appliquer les équations d’équilibre des forces à chaque nœud

 Les équations ci-dessus donnent:

Considérons les équations que nous avons développées pour les deux sources
système. On considérera que le noeud 1 est fixé u1 = 0. Le
équations décrivant l'allongement du système de ressorts
devenir:

 L'élargissement des équations de la matrice donne:

 no pub

gc

exercice 4

Considérez le système à quatre ressorts suivant:

 La constante du ressort k = 200 kN / m et le déplacementδ= 20 mm.

solution
Par conséquent, les matrices de rigidité élémentaire sont:

 En utilisant la superposition (méthode de la raideur directe), la méthode globale
la matrice de rigidité est:

 Les équations globales de déplacement de force sont les suivantes:

 Application des conditions aux limites (u1 = 0 et u5 = 20 mm)
et les forces connues (F2x, F3x et F4x égales à zéro) donnent: